Как вы поняли, что хотите стать математиком? Это семейное?
Математиков в семье нет: мама, папа, бабушка и дедушка — все химики. Мне кажется, история у меня довольно обычная. В двенадцать лет я поступила в физико-математическую школу и начала ездить на олимпиады. Тогда и поняла, что хочу быть математиком.
И с тех пор вы были верны математике? Без «кризисов веры»?
Кризисы были, конечно. Первый — в одиннадцатом классе, когда я не попала на международную олимпиаду. Тогда мне показалось, что в математики я не гожусь. Это было огромное разочарование.
Потом в университете я стала ездить на студенческие олимпиады — навёрстывать упущенное на школьных. Следующий кризис случился, наверное, когда студенческие олимпиады закончились: я стала для них слишком взрослой.
А потом, к счастью, я узнала, что бывает такая вещь, как исследовательская математика, где можно решать по-настоящему трудные задачи и писать о них статьи. Это было, кажется, на четвёртом курсе.
Есть любимая олимпиадная задача?
Даже не знаю. Может быть, поэтому я и не была особенно успешна на олимпиадах. Когда решаешь много задач, скорее запоминаешь принципы, чем сами задачи. В любой стране задачи придумывает конечное число людей, и если посвятить себя решению всего, что они придумывают, систему, в общем-то, можно взломать.
Мы, конечно, готовились к соревнованиям, но это никогда не превращалось в натаскивание, это всегда было частью чего-то большего. У нас был замечательный учитель физики — он, кстати, жив до сих пор, ему восемьдесят, он до сих пор работает в школе и до сих пор ведёт физический кружок. Кружок собирался по субботам. Его философия всегда была в том, что нужно уметь думать, а не только щёлкать олимпиадные задачи. Потому что рано или поздно все олимпиады кончатся. Вот к этому «потом» он нас и готовил.
А любимый тип задач тогда был? Планиметрия, например?
Планиметрию я как раз не любила. В какой-то момент задачи становятся очень, очень сложными, и непонятно, зачем именно им быть настолько сложными. Мне кажется, естественных задач в планиметрии некоторое количество есть, но для олимпиад они довольно быстро кончаются. И начинается: «Возьмём двадцать различных окружностей, проведём тридцать прямых, отметим на каждой по три точки…» Кажется, у нас был один математик, который придумывал такие задачи специально для украинских олимпиад.
При этом, если спросить меня, чем я занимаюсь в математике, я, скорее всего, отвечу, что геометрией. В том смысле, что геометрию я люблю. А те задачи казались мне очень искусственными.
Какие олимпиадные или вообще математические книжки нравились больше всего?
Я любила такие маленькие книжечки — «Библиотечку „Кванта“» и тому подобное. Их было несколько серий. Помню книгу, в которой основная теорема алгебры доказывалась топологическими методами. Из олимпиадных задач больше всего я любила комбинаторику, особенно старую. Там может требоваться всего одна идея, но очень красивая. В новых задачах идеи приходится складывать друг на друга — как будто собираешь сэндвич.
А ещё я помню — это, может быть, к математике и не относится, — у нас был сосед, он давно умер. Старик, прошедший войну, а потом работавший с моим дедушкой в одном университете.
И у него дома была огромная — я имею в виду, действительно огромная — коллекция разных научно-популярных книг по физике и математике. И в какой-то момент оказалось, что внуки в науку не пошли, и он отдал книги мне. Всю коллекцию, всю стопку целиком. И там я нашла книгу по астрономии, которая произвела на меня сильное впечатление.
Она была устроена очень увлекательно: про теории эволюции звёзд, от двадцатых годов до более или менее современных, до восьмидесятых, кажется. И там рассказывались истории про разные теории, в которых всё сходилось замечательно — теория, вычисления, наблюдения… А потом находили новую звезду. И вся теория отправлялась в мусорную корзину. Нужна новая идея, новая теория, надо начинать сначала. Проходит несколько лет, эта более сложная теория работает, а потом случается ещё одно открытие, и её тоже приходится выбросить. И таких итераций там было, кажется, пять.
Меня это очень поразило, потому что было совершенно не похоже на то, чему нас учили в школе. Учитель говорил: «Вот теория, её надо выучить, и она работает». А оказывается, можно придумывать новые теории!
Но в математике ведь так не бывает?
Конечно, бывают редкие случаи, когда теорема доказана, доказательство принято, а через несколько лет находят ошибку. Но я не об этом. Времена меняются, делаются открытия, какие-то ранее незамеченные вещи вдруг становятся важными, какие-то идеи приходят из физики или астрономии. Место для новой теории в математике есть всегда.
Итак, четвёртый курс. Олимпиады кончились, начались исследования. Долго ли вы искали, прежде чем пришли к геометрии?
Ну, это я считаю, что занимаюсь геометрией; возможно, у геометров на этот счёт другое мнение. Официально я работаю в теории чисел. Впрочем, неважно: я занимаюсь понемногу всем. Период поиска действительно был. Я не сразу начала делать то, что делаю.
Когда я училась в Киеве, я вела своего рода двойную жизнь. Формально я выбрала специализацию по алгебре и поступила на кафедру алгебры, но продолжала близко дружить с людьми с кафедры математического анализа. Мы делали совместные проекты, писали статьи.
В аспирантуре я занялась компьютерной алгеброй. Мне казалось, что «компьютерная» часть — вещь очень полезная: если не получится устроиться математиком, я хотя бы стану программистом. В итоге я написала программу, которая считает некоторые инварианты кривых, и поняла, что нет, плана Б у меня определённо нет, программистом я быть не хочу.
К Дону Загиру я попала случайно. Мне кажется, если я и занимаюсь теорией чисел, то теорией чисел в понимании Дона. Что мне нравится в этой части математики — то, как она соприкасается со множеством других областей. Это не «вещь в себе», когда люди строят теорию, внутри которой всё прекрасно, и никто им больше не нужен. Нет, здесь у тебя есть интерфейс, связывающий тебя почти со всем, что можно вообразить: с алгебраической геометрией, математической физикой, анализом, геометрией.
То есть Дон вами руководил?
Не знаю. Дело не в том, что он мной руководил, — скорее, он подавал мне пример. Дон очень харизматичный. Если у него появляется идея, он прибегает в комнату к студенту, чтобы ею поделиться. И если студенту повезло оказаться в этот момент на месте, он два часа слушает Дона. Обычно эти два часа не имеют ровно никакого смысла, но через два месяца наступает момент: «А, вот оно, вот что он мне на самом деле рассказывал!»
У меня было ровно так же. Кажется, Дон тогда писал статью про формы Якоби. Это большая статья, совместная с математическими физиками, где эти модулярные формы возникают как статистические суммы.
И он понял про них важную вещь. Исходная функция может выглядеть так, будто у неё нет вообще никаких хороших свойств, — а её можно разложить в сумму трёх, и у каждого слагаемого хорошее свойство есть. Причём у каждого своё. Например, одно слагаемое модулярно, но не голоморфно. А второе голоморфно — но не модулярно. И так далее.
И вот он придумал, как всё это сосчитать, и мне про это рассказывал. Всех деталей я, конечно, не помню, но идею помню. То есть: если есть объект, плохой сам по себе, его можно разложить в сумму хороших, понятных объектов. Но каждый должен быть хорош по-своему. И что именно так и решаются задачи.
А какая была первая исследовательская задача, которую вы решили?
Ну, на мой первый результат мало кто обратил внимание. Это был четвёртый курс. Задачу предложил Андрей Бондаренко, который работал с Андреем Примаком над рациональной аппроксимацией.
Есть неравенство Бернштейна для многочленов, из которого следует, что у многочлена, ограниченного на отрезке [−1, 1], производная в нуле тоже ограничена. Ограничена константой, зависящей от степени. Когда мы что-то приближаем многочленами, это очень важный результат, его можно использовать множеством способов.
Для рациональных функций ничего подобного нет. Можно найти рациональную функцию ограниченной степени, ограниченную на всей прямой, у которой производная в нуле при этом сколь угодно велика. Бондаренко и Примак заметили, что если дополнительно потребовать монотонности рациональной функции, то оценку бернштейновского типа, вероятно, удастся доказать. Это и есть мой первый результат — мы с Андреем сумели её доказать.
Помните, как вы это доказали?
Да! У нас тогда шёл ремонт на кухне. Жить дома было невозможно, и мы с сёстрами переехали к бабушке. А у бабушки, разумеется, были свои правила, она человек строгий. Дома можно было оставить чашку с чаем или носки где попало, а там было тесно, свободы не так много.
У бабушки всё шло по расписанию: встали, позавтракали и так далее, была уборка, в девять вечера новости, в десять отбой. У меня приближались экзамены, и бабушка следила, чтобы я к ним готовилась. Готовиться мне до того не хотелось, что я решила: лучше буду думать про задачу о рациональных функциях. Бабушка при всём желании не могла определить, готовлюсь я к экзаменам или решаю задачу.
Так я придумала, как получить оценку. А потом Андрей сообразил, как сделать её оптимальной — в том смысле, что улучшить её нельзя. Мы написали статью, но, как выяснилось, монотонные рациональные функции мало кого интересуют.
Марина, а как вы вообще выбираете задачи?
Новые задачи я начинаю редко. Обычно я подолгу живу со старыми и думаю о них. Ну а как выбираю — не знаю. Разумеется, это должно быть что-то интересное.
Нет — во-первых, это должно быть интересно мне, а во-вторых, должно быть ощущение, что у меня есть подходящие инструменты. Задача может быть красивой, но предназначенной кому-то другому, а мне не с чем к ней подступиться.
Расскажите про решение задачи об упаковке шаров.
Это было немного похоже на тот самый сэндвич, о котором мы говорили. До решения нужно было пройти несколько шагов. Первый — и именно он дал мне уверенность, что я задачу решу, — это когда мне удалось свести её к функциональному уравнению. Я возвращалась с конференции в Бонне. Было лето, в поезде было довольно душно. И в поезде я подумала: раз ничего не выходит, дай-ка я выпишу задачу ещё раз с самого начала. В школе нас учили, что, пока не запишешь и не приведёшь в порядок, в голове мусор. Выписываю — и получаю это функциональное уравнение. Смотрю на него и думаю: «Вот это я, кажется, решить смогу». И действительно решила, на это ушло всего пара месяцев.
Точнее, уравнений было два. Первое я решила очень быстро, а на второе ушло два месяца. Помню, как я приехала летом домой к родителям и по вечерам писала на листках длинные-длинные формулы. И так вышло, что одна из этих формул и была решением. Разумеется, в этих записях я сделала все возможные ошибки. Но в последний раз, когда я это выписывала, я не ошиблась нигде — и вот оно, решение.
Задним числом: это функциональное уравнение легко могло оказаться неразрешимым. Сложись всё чуть иначе — оно не решалось бы в модулярных формах. Так что сомневаться до самой той минуты, когда решение нашлось, было правильно.
Очевидный вопрос: что вы почувствовали, когда узнали про медаль?
Не знаю… Конечно, я понимаю, что это вещь совершенно уникальная и что мне исключительно повезло. А потом я подумала: как же так? Что я буду делать всю оставшуюся жизнь? Я только начинаю жить, а высшая точка уже пройдена. Эта мысль мне совсем не понравилась. Потом, конечно, я подумала и о том, какую огромную ответственность это на человека накладывает. Мне понадобилось несколько дней, чтобы всё это осознать.
Теперь к вам будет приходить больше студентов. Вы сможете давать им задачи.
Не знаю, давать студентам задачи довольно трудно. Чаще всего я даю им темы для изучения. В Лозанне, если дать студенту задачу, которую он не решит к концу семестра, он может расстроиться. Студенты здесь старательные и ответственные, но им нужен результат.
Мне кажется, в моё время студенты были большими разгильдяями. С одной стороны, мы были менее организованными, могли прогулять лекцию. С другой стороны, когда я была студенткой, мой научный руководитель говорил мне: «Ну-ка реши эту задачу». Я полгода пыталась её решить и просто не могла. А он мне: «Ну, не вышло, зато ты старалась, молодец». Результата, правда, при этом не было.
Теперь, как филдсовский лауреат, вы можете влиять на математическое образование. Что бы вы сказали, например, швейцарскому министру образования про преподавание математики?
Мой сын сейчас учится в школе, и в какой-то момент мне, наверное, будет интересно встретиться с людьми, которые отвечают за школьную программу по математике.
Меня всегда удивляет, что программа по математике всё время меняется. Когда сын начал учить геометрию, я купила тот учебник, по которому училась сама. Написанный Погореловым ещё в шестидесятые. Прекрасный учебник, зачем нужен какой-то другой?
Я понимаю, что говорить такое людям, занятым образованием, вряд ли продуктивно. Понимания между ними и мной, скорее всего, не будет. Но мне кажется, что это как раз тот случай, когда старое — хорошо. Планиметрия, которую преподают в школе, — это всё та же планиметрия, придуманная Евклидом, ничего не изменилось. Мы уже в локальном, а может, и в глобальном максимуме. Максимум — это прекрасно, зачем его менять?
Я понимаю, что в вопросах математического образования отличаюсь от других людей. Возможно, у меня не те потребности, что у остальных. И очевидно, что учебник должен быть понятен всем и доступен всем, чтобы каждый мог извлечь из него максимум. Но в старых учебниках мне нравится то, что в них действительно много слов и объяснений. Там есть определения, есть теоремы. Есть объяснение, что такое определение и что такое теорема. Современные учебники — это просто конспект, шпаргалка. Много картинок, мало текста. Буквально как в детских книжках: небольшой текст в большой рамке.
Возможно, предполагается, что пустоты заполнит учитель в классе, но мне кажется, что дети вообще редко запоминают то, что им говорят взрослые, — во всяком случае, до того, чтобы запомнить всё, довольно далеко. А книга, в которой всё это написано, — вещь на самом деле очень хорошая.
Раньше математику в школе преподавали циклами: к темам возвращались на разных уровнях, и это росло, как здание, — каждый этаж на предыдущем. В современном образовании этого нет, есть только обрывки, кусочки, фрагменты.
Возможно, люди, работающие в образовании, об этом знают. Может быть, тут есть противоречие между педагогикой и дидактикой. Как я это вижу, педагогика меняться обязана, потому что каждое новое поколение отличается от предыдущего просто потому, что меняется наша жизнь. И мне кажется логичным, что должны появляться какие-то новые способы общения учителя с учеником — должны. Но дидактическая часть, состоящая из теорем и доказательств, со своей строгой логической структурой, — её менять смысла нет. Она была хороша тысячи лет, зачем её ломать?
Справедливости ради скажу, что в современной школе, и в швейцарской в частности, мне многое нравится. Она гораздо дружелюбнее к детям, чем то, что я помню по собственному опыту. Много внимания уделяется тому, чтобы дети выстраивали хорошие отношения друг с другом, разрешали конфликты, вместе работали над общими проектами. В конце концов, школа — это не только про успеваемость. Это ещё и про то, как научиться жить с другими людьми.
Что меня иногда тревожит, так это вот что. Возникает ощущение, будто люди уверены, что логика и знания нам больше не нужны. Что на это нет времени. Что машинное обучение сделает всё за нас, а мы будем смотреть в хрустальный шар и задавать вопросы.
Вам часто задают вопрос, не заменят ли математиков компьютеры?
Я по-прежнему считаю, что компьютер — это инструмент. В том смысле, что компьютеры не мешают людям — люди мешают себе сами, пользуясь этим инструментом. Если дать человеку пилу, он может быстро наколоть дров, а может отпилить себе палец. Если он отпилил себе палец, пила не виновата.
То же самое с искусственным интеллектом. С одной стороны, он, безусловно, открывает для математики самые разные возможности и может выполнить множество задач, которые нам самим не по силам. С другой стороны, ценность математики в том, чтобы понимать, что происходит. Ставить искусственному интеллекту осмысленные задачи и понимать ответы. Не то чтобы компьютер как-то думал за меня. Кого-то может завораживать иллюзия компьютерного мышления, но это всего лишь инструмент.
Но разве наш мозг — не большая нейронная сеть?
Разумеется, сеть, но это наш мозг! Я гуманист: для меня люди особенные, потому что люди — это мы.
Вы много пользуетесь компьютером?
В работе я довольно много занимаюсь численными экспериментами. Компьютер — очень важный вспомогательный инструмент. К сожалению, программист из меня не самый талантливый, так что обычно мне нужна помощь того, кто умеет это лучше. Но есть вещи, которые трудно понять теоретически, и иногда проще проверить их экспериментом. Если ответ отрицательный — значит, все построения были неверными.
Кроме того, и в статье про упаковку шаров, и в статье про оптимальную энергию мы используем компьютер, чтобы доказать положительность одной функции. Функция вполне явная, но очень сложная, и доказывать её положительность напрямую было бы крайне трудоёмко. С помощью интервальной арифметики положительность может проверить компьютер. То есть компьютер способен давать не только вдохновение и пищу для размышлений — он ещё и сертифицирует доказательства. В этом смысле компьютеры умеют доказывать теоремы. Но всё-таки очень желательно, чтобы был и человек, понимающий, что происходит.
Чем вы занимаетесь в свободное время?
Пару лет назад я начала бегать, и мне это очень нравится. Я пробовала начать рисовать, но, по-моему, рисование — плохое хобби для математика. Потому что ты всё равно сидишь и всё равно о чём-то думаешь. Слишком похоже на математику.
Бегать я начала, когда переехала в Швейцарию, — меня втянул муж. И вот это, кстати, отличное хобби для математика. Бег действительно разгружает мозг: бежать и думать одновременно у меня не выходит. Не знаю, наверное, кислорода не хватает на всё сразу. И это бывает очень полезно, чтобы разорвать какой-нибудь порочный круг мыслей, если он вдруг завёлся в голове.
Никаких особых достижений в беге у меня нет, но я стараюсь бегать два-три раза в неделю. Недавно участвовала в Лозаннском марафоне — бежала десять километров, — который из-за пандемии проходил виртуально. Когда есть время, ты бежишь вокруг озера, записываешь трек на телефон и загружаешь его. Мне прислали номер и футболку, вышел приятный сувенир.
Беседовали Андрей Окуньков и Андрей Коняев.
Оригинал — интервью Международного математического союза к вручению Филдсовской медали 2022 года.