Геометрия дискриминанта
Корни квадратного уравнения выражаются через коэффициенты по известной со школы формуле. Для уравнений третьей и четвёртой степени такие формулы тоже есть, только длиннее. Есть ли формула для уравнения пятой степени?
Формулы для третьей и четвёртой степени нашли итальянские алгебраисты XVI века. Тарталья открыл способ решать кубические уравнения и сообщил его Кардано, взяв с него клятву никому этот способ не раскрывать. В 1540 году ученик Кардано Феррари свёл уравнение четвёртой степени к кубическому, и в 1545 году Кардано, несмотря на клятву, опубликовал оба решения в книге «Великое искусство». С пятой степенью ничего не выходило ещё два с половиной столетия. Чтобы понять почему, не будем искать формулу, а посмотрим на сами многочлены как на точки пространства и проследим, как от точки зависят корни.
Сколько корней: степени 2, 3 и 4
Приведённый квадратный трёхчлен $x^2+px+q$ задаётся парой чисел $(p,q)$, то есть точкой плоскости. Число его корней определяется знаком дискриминанта $D=p^2-4q$: при $D\gt 0$ корней два, при $D=0$ один, при $D\lt 0$ корней нет. Значит, парабола $q=p^2/4$ делит плоскость на две области. Под параболой лежат трёхчлены с двумя корнями, над ней — без корней, а на самой параболе — трёхчлены с одним корнем.
Корень $x_0$ многочлена $f$ называется кратным, если $f$ делится на $(x-x_0)^2$, и простым в противном случае.
Для кубических многочленов ответ тоже читается по коэффициентам. Член с $x^2$ убирается сдвигом $x\mapsto x+c$, поэтому достаточно рассмотреть $x^3+px+q$.
Пусть $D_3=-4p^3-27q^2$. Если $D_3\gt 0$, у многочлена $x^3+px+q$ три различных вещественных корня; если $D_3\lt 0$ — один вещественный корень, простой; если $D_3=0$ и $(p,q)\ne(0,0)$ — двойной корень и простой; если $p=q=0$ — тройной корень $0$.
✳✳ Это утверждение мы принимаем без доказательства; его можно доказать школьными средствами, сравнив значения многочлена в точках локального минимума и максимума. См. статью «Кубическое уравнение».
Многочлен с двойным корнем $t$ имеет вид $$(x-t)^2(x+2t)=x^3-3t^2x+2t^3$$ (сумма корней равна нулю, поэтому третий корень $-2t$), то есть $$p=-3t^2,\qquad q=2t^3.$$ Такие точки образуют полукубическую параболу $4p^3+27q^2=0$ с остриём в начале координат. Внутри её «клюва» лежат многочлены с тремя корнями, снаружи — с одним.
Многочлены $x^4+ax^2+bx+c$ — точки трёхмерного пространства, и здесь то же исследование можно провести полностью. Многочлен с двойным корнем $t$ делится на $(x-t)^2$, а так как сумма корней равна нулю, частное имеет вид $x^2+2tx+e$: $$(x-t)^2(x^2+2tx+e)=x^4+(e-3t^2)x^2+2t(t^2-e)\,x+t^2e.$$ Отсюда $a=e-3t^2$, и $$b=-4t^3-2at,\qquad c=3t^4+at^2.$$ Эти точки образуют поверхность, которую по форме называют ласточкиным хвостом. Она делит пространство на три области, в которых у многочлена 0, 2 и 4 вещественных корня.
Её удобно изучать и по сечениям $a=\mathrm{const}$. При $a\gt 0$ сечение — гладкая кривая, при $a=0$ у неё появляется особая точка (многочлен $x^4$), при $a\lt 0$ — два острия и самопересечение.
Итак, для степеней до четвёртой структуру корней — сколько их и есть ли среди них кратные — можно полностью прочитать по коэффициентам. Что можно сказать для любой степени $n$? Приведённый многочлен $x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$ — точка пространства $\mathbb R^n$ с координатами $a_0,\dots,a_{n-1}$. Как в этом пространстве устроены множества многочленов с данным числом вещественных корней и что лежит между ними? Начнём с того, что происходит внутри такого множества.
Корень не пропадает
Чтобы следить за простым корнем, нам понадобится производная.
Корень $x_0$ многочлена $f$ кратный тогда и только тогда, когда $f'(x_0)=0$.
доказательство — теорема Безу
По теореме Безу $f=(x-x_0)h$ для некоторого многочлена $h$. Тогда $f'=h+(x-x_0)h'$ и $f'(x_0)=h(x_0)$, а $f$ делится на $(x-x_0)^2$ ровно тогда, когда $h(x_0)=0$.
Геометрически в кратном корне график касается оси абсцисс, а в простом пересекает её под ненулевым углом. Возле простого корня график почти совпадает с касательной. При малом изменении коэффициентов график и касательная сдвинутся мало, поэтому пересечение с осью сохранится и останется единственным: касательная не станет горизонтальной.
Превратим эту картинку в доказательство. Нам понадобятся три простые оценки.
Пусть $|x|\le M$ при всех $x\in I$ и каждый коэффициент многочлена $g$ степени $n$ отличается от соответствующего коэффициента $f$ меньше чем на $\delta$. Тогда при всех $x\in I$
$$|g(x)-f(x)|\le\delta K,\qquad |g'(x)-f'(x)|\le\delta K',$$
где $K=1+M+\dots+M^{n}$ и $K'=1+2M+\dots+nM^{n-1}$ зависят только от $M$ и $n$.
доказательство — неравенство треугольника
Пусть $a_i$ и $b_i$ — коэффициенты $f$ и $g$ при $x^i$. Разность $g-f$ — сумма слагаемых $(b_i-a_i)x^{i}$, каждое по модулю меньше $\delta M^{i}$. Для производных так же, с множителями $i$.
Если $f'(x_0)\gt 0$, то найдутся числа $\varepsilon\gt 0$ и $m\gt 0$ такие, что $f'(x)\ge m$ на отрезке $[x_0-\varepsilon,\,x_0+\varepsilon]$; то же верно и для всех меньших $\varepsilon$.
доказательство — непрерывность
Производная многочлена непрерывна. Возьмём $m=f'(x_0)/2$; рядом с $x_0$ производная больше $m$.
Если $f(x_0)=0$ и $f'\ge m$ на $[x_0-\varepsilon,\,x_0+\varepsilon]$, то $f(x_0-\varepsilon)\le-m\varepsilon$ и $f(x_0+\varepsilon)\ge m\varepsilon$.
доказательство — теорема Лагранжа
По формуле конечных приращений $f(x_0+\varepsilon)-f(x_0)=f'(\xi)\,\varepsilon\ge m\varepsilon$ для некоторой точки $\xi$ между $x_0$ и $x_0+\varepsilon$. Для левого конца рассуждение такое же.
Пусть $x_0$ — простой корень вещественного многочлена $f$. Тогда для любого достаточно малого $\varepsilon\gt 0$ найдётся $\delta\gt 0$ такое, что у любого вещественного многочлена $g$ той же степени, каждый коэффициент которого отличается от соответствующего коэффициента $f$ меньше чем на $\delta$, на отрезке $[x_0-\varepsilon,\,x_0+\varepsilon]$ ровно один корень.
доказательство — три леммы и две теоремы анализа
Пусть для определённости $f'(x_0)\gt 0$ (по утверждению 3 $f'(x_0)\ne0$; случай $f'(x_0)\lt 0$ такой же).
Шаг 1. По лемме 5 выберем $\varepsilon$ и $m$ так, что $f'\ge m$ на $I=[x_0-\varepsilon,\,x_0+\varepsilon]$. По лемме 6 $f(x_0-\varepsilon)\le-m\varepsilon$ и $f(x_0+\varepsilon)\ge m\varepsilon$.
Шаг 2. Для отрезка $I$ возьмём $K$ и $K'$ из леммы 4 и выберем $\delta$ так, что $\delta K\lt m\varepsilon$ и $\delta K'\lt m$.
Шаг 3. По лемме 4 $g(x_0-\varepsilon)\lt -m\varepsilon+m\varepsilon=0$ и $g(x_0+\varepsilon)\gt 0$, а на всём $I$ производная $g'\gt m-m=0$.
Шаг 4 (существование). На концах $I$ у $g$ разные знаки, поэтому по теореме о промежуточном значении у $g$ есть корень на $I$.
Шаг 5 (единственность). На $I$ производная $g'\gt 0$, поэтому $g$ строго возрастает и второго корня на $I$ нет.
Шаг 5 и есть «касательная не становится горизонтальной». В теореме 7 мы следили за одним корнем. Чтобы следить за всеми сразу, нужно ещё убедиться, что новые корни не появятся где-то далеко.
Каждый корень приведённого многочлена $x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$ удовлетворяет неравенству $|x|\le1+\max|a_i|$.
доказательство — сравнить старший член с остальными
Пусть $A=\max|a_i|$ и $|x|\gt 1+A$. Тогда $|a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0|\le A\,\dfrac{|x|^n-1}{|x|-1}\lt |x|^n$, и многочлен в точке $x$ не равен нулю.
Пусть у приведённого многочлена $f$ ровно $k$ вещественных корней и все они простые. Тогда найдётся $\delta\gt 0$ такое, что у любого приведённого $g$ той же степени с коэффициентами, отличающимися от коэффициентов $f$ меньше чем на $\delta$, тоже ровно $k$ вещественных корней, все простые, и каждый лежит рядом со своим корнем $f$.
доказательство — корни не пропадают и не появляются
Шаг 1. Вокруг каждого корня $f$ возьмём отрезок из теоремы 7, причём настолько короткий, что отрезки не пересекаются. Шаг 2. Все корни всех близких $g$ лежат на отрезке $[-R,R]$ с $R=2+\max|a_i|$ (лемма 8; считаем $\delta\le1$). Шаг 3. Множество $L$ — отрезок $[-R,R]$ без внутренностей маленьких отрезков — замкнуто и ограничено, а $f$ на нём не обращается в ноль. По теореме Вейерштрасса $|f|\ge\mu\gt 0$ на $L$. По лемме 4 при малом $\delta$ на $L$ выполнено $|g-f|\lt\mu$, и $g$ там не обращается в ноль. Шаг 4. Значит, корни $g$ есть только на маленьких отрезках, и по теореме 7 на каждом ровно один, причём простой (там $g'\ne0$).
Иначе говоря, многочлены, у которых ровно $k$ вещественных корней и все они простые, образуют открытое множество: вместе с каждой своей точкой оно содержит маленький шар вокруг неё.
Пока не задеваем кратных корней
Пусть теперь точка $f_s$ движется по непрерывному пути, $s\in[0,1]$, и ни у одного $f_s$ нет кратных вещественных корней.
Если непрерывный путь $f_s$, $s\in[0,1]$, в пространстве приведённых многочленов степени $n$ не проходит через многочлены с кратным вещественным корнем, то число вещественных корней $f_s$ одно и то же при всех $s$, а сами корни непрерывно зависят от $s$.
доказательство — покрыть путь интервалами
Шаг 1. По теореме 9 каждая точка $s_0$ лежит в интервале, где число корней $f_s$ постоянно, а каждый корень остаётся рядом со «своим»; так как отрезки в теореме 7 можно брать сколь угодно короткими, корни непрерывно зависят от $s$. Шаг 2. Эти интервалы покрывают отрезок $[0,1]$. По лемме Гейне — Бореля из покрытия можно выбрать конечное подпокрытие. Соседние интервалы перекрываются, поэтому число корней одно и то же на всём пути.
Дискриминант и касательные
Теперь посмотрим на то, что лежит между областями: на многочлены с кратным вещественным корнем. Их множество называют дискриминантным множеством или просто дискриминантом: у квадратных трёхчленов это парабола, у кубических — полукубическая парабола, у многочленов четвёртой степени — ласточкин хвост. Каждой его точке отвечает свой кратный корень; начнём с параболы.
Какие трёхчлены имеют корень $t$? Подставим $x=t$: $t^2+pt+q=0$. Это линейное уравнение на $p$ и $q$, поэтому такие трёхчлены образуют прямую. Обозначим её $L_t$.
При любом $t$ прямая $L_t\colon q=-tp-t^2$ касается параболы $q=p^2/4$ в точке $(-2t,\,t^2)$, то есть в трёхчлене $(x-t)^2$.
доказательство — выделить полный квадрат
На прямой $L_t$
$$p^2-4q=p^2+4tp+4t^2=(p+2t)^2.$$
Это выражение неотрицательно и обращается в ноль только при $p=-2t$. Значит, прямая имеет с параболой одну общую точку и нигде не заходит выше неё, то есть касается её.
По определению точка $(p,q)$ лежит на $L_t$ ровно тогда, когда $t$ — корень трёхчлена $x^2+px+q$. Поэтому корней у трёхчлена столько, сколько касательных к параболе проходит через его точку: из точки под параболой — две, из точки над ней — ни одной. Сам корень читается по наклону касательной: наклон $L_t$ равен $-t$.
У кубических многочленов $x^3+px+q$ прямые $L_t\colon t^3+pt+q=0$ снова касаются дискриминантной кривой — полукубической параболы, и снова корней столько, сколько касательных проходит через точку.
Через дискриминант не пройти так, как в теореме 10: в типичной его точке два вещественных корня сливаются и исчезают или, наоборот, рождаются. В вещественном мире дискриминант — стена: внутри каждой области число корней постоянно, а при переходе через стену оно меняется на два.
Что из этого обобщается? Утверждение теоремы 7 и рассуждение теорем 9 и 10 переносятся на многочлены с комплексными коэффициентами и комплексные корни. Не переносится доказательство теоремы 7: у комплексного числа знака нет. И пропадает стена.
Дискриминант можно обойти
Приведённый многочлен $x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$ с комплексными коэффициентами — точка пространства $\mathbb C^n$. Каждая комплексная координата — это две вещественные, поэтому $\mathbb C^n$ можно считать вещественным пространством $\mathbb R^{2n}$.
Дискриминантное множество в этом мире задаётся уравнением на коэффициенты. Нам нужно описание, которое не опирается на корни: мы ещё не знаем, что они у каждого многочлена есть, и иначе доказательство основной теоремы алгебры ниже пошло бы по кругу.
Для многочленов $f$ и $g$ заданных степеней существует многочлен $R(f,g)$ от их коэффициентов, который обращается в ноль тогда и только тогда, когда у $f$ и $g$ есть общий делитель положительной степени. Он называется результантом. Дискриминант многочлена $f$ — это $D(f)=R(f,f')$, многочлен от коэффициентов $f$.
✳✳ Существование результанта мы принимаем без доказательства. Это определитель матрицы Сильвестра, составленной из коэффициентов $f$ и $g$; что он обращается в ноль ровно тогда, когда есть общий делитель, доказывается линейной алгеброй и не использует существования корней. Например, для $x^2+px+q$ и его производной $R=4q-p^2$, то есть дискриминант $p^2-4q$ с точностью до знака.
Если $D(f)\ne0$, то у $f$ нет кратных корней: кратный корень был бы общим корнем $f$ и $f'$. Многочлены с $D(f)=0$ образуют дискриминантное множество $\Delta$. Одно комплексное уравнение — это два вещественных, поэтому $\Delta$ «на две размерности меньше» всего пространства, как точка на плоскости или прямая в $\mathbb R^3$. А точку на плоскости можно обойти.
Любые два приведённых многочлена $f,g\notin\Delta$ степени $n$ можно соединить непрерывным путём в $\mathbb C^n$, который не задевает $\Delta$.
доказательство — комплексная прямая через две точки
Рассмотрим многочлены $h_s=(1-s)f+sg$, где $s$ — любое комплексное число; все они приведены, так как $(1-s)+s=1$. Функция
$$s\mapsto D\big((1-s)f+sg\big)$$
— многочлен от одной переменной $s$, и он не равен нулю тождественно, потому что при $s=0$ равен $D(f)\ne0$. Значит, у него конечное число корней: каждый корень $s_i$ отщепляет множитель $s-s_i$, и корней не больше степени. На плоскости $s$ пройдём от $0$ к $1$ по отрезку, обходя лежащие на нём корни $s_i$ по маленьким полуокружностям. Соответствующий путь $h_s$ не задевает $\Delta$.
Сколько корней у многочлена
Прежде чем переставлять корни, нужно знать, что они есть и что их всегда $n$. Для этого повторим вещественное рассуждение. Сначала нужен комплексный вариант теоремы 7.
Пусть $z_0$ — простой корень многочлена $f$ с комплексными коэффициентами. Тогда для любого достаточно малого $r\gt 0$ найдётся $\delta\gt 0$ такое, что у любого многочлена $g$ той же степени, каждый коэффициент которого отличается от соответствующего коэффициента $f$ меньше чем на $\delta$, в круге $|z-z_0|\lt r$ ровно один корень.
доказательство — число оборотов
Знаков у комплексных чисел нет, поэтому вместо смены знака следим, сколько раз точка $g(z)$ обходит ноль, когда $z$ обходит окружность.
Шаг 1 (число оборотов). Если замкнутая кривая на плоскости не проходит через ноль, у неё есть число оборотов вокруг нуля: сколько раз она его обходит против часовой стрелки, за вычетом обходов по часовой. Если кривую непрерывно деформировать, не проводя её через ноль, число оборотов не меняется: это целое число, а меняться может только непрерывно.
Шаг 2 (собака на поводке). Если две кривые $w_1(t)$ и $w_2(t)$ таковы, что всегда $|w_2(t)-w_1(t)|\lt |w_1(t)|$, то они обходят ноль одинаковое число раз: отрезок между $w_1(t)$ и $w_2(t)$ не проходит через ноль, и одну кривую можно продеформировать в другую по этим отрезкам. Хозяин обходит столб, собака на коротком поводке обходит его столько же раз.
Шаг 3 (вокруг простого корня — один оборот). Возле $z_0$ имеем $f(z)=f'(z_0)(z-z_0)+(z-z_0)^2u(z)$. На маленькой окружности $|z-z_0|=r$ второе слагаемое по модулю меньше первого, поэтому по шагу 2 образ окружности обходит ноль столько же раз, сколько $f'(z_0)(z-z_0)$, то есть один раз.
Шаг 4 (меняем коэффициенты). На этой окружности $|f|\ge\mu\gt 0$. По лемме 4 при малом $\delta$ выполнено $|g-f|\lt\mu\le|f|$, и по шагу 2 образ окружности под действием $g$ тоже обходит ноль один раз.
Шаг 5 (есть корень). Если бы у $g$ не было корня в круге, окружность можно было бы стянуть в точку, не проходя через корни; число оборотов не изменилось бы (шаг 1), а образ крошечной окружности вокруг точки, где $g\ne0$, ноль не обходит. Противоречие.
Шаг 6 (корень один). Для многочлена $g(z)-g(w)=(z-w)\,Q(z,w)$, где $Q$ — многочлен от $z,w$ и $Q(z,z)=g'(z)$. В маленьком круге и при малом $\delta$ число $Q$ близко к $f'(z_0)\ne0$, поэтому из $g(z)=g(w)=0$ следует $z=w$.
Теоремы 9 и 10 переносятся дословно: отрезки заменяются кругами, отрезок $[-R,R]$ — кругом $|z|\le R$. Вдоль пути, не задевающего $\Delta$, корни непрерывно зависят от параметра, и их число не меняется.
У всякого многочлена степени $n\ge1$ с комплексными коэффициентами есть комплексный корень.
доказательство — соединить с $x^n-1$ и перейти к пределу
Можно считать многочлен $f$ приведённым.
Шаг 1 ($f\notin\Delta$). По теореме 13 соединим $f$ путём вне $\Delta$ с многочленом $x^n-1$. У $x^n-1$ ровно $n$ корней — вершины правильного $n$-угольника на единичной окружности. Вдоль пути число корней не меняется, поэтому у $f$ тоже $n$ корней.
Шаг 2 ($f\in\Delta$). На комплексной прямой $h_s=(1-s)f+s(x^n-1)$ лишь конечное число точек лежит в $\Delta$, поэтому найдутся $s_k\to0$ с $h_{s_k}\notin\Delta$. По шагу 1 у каждого $h_{s_k}$ есть корень $z_k$, и по лемме 8 все $z_k$ лежат в одном круге. По теореме Больцано — Вейерштрасса у последовательности $z_k$ есть предельная точка $z$, и $f(z)=\lim h_{s_k}(z_k)=0$.
Отщепляя найденный корень множителем $x-z$ и повторяя рассуждение для частного, получаем: у многочлена степени $n$ ровно $n$ корней с учётом кратности.
После обхода корни меняются местами
Возьмём $x^2+\lambda$ и пустим $\lambda=e^{i\varphi}$ по единичной окружности вокруг нуля; ноль здесь — единственная точка дискриминанта. Корни $\pm ie^{i\varphi/2}$ поворачиваются вдвое медленнее. Когда $\lambda$ сделает полный оборот, каждый корень повернётся на пол-оборота: корни $i$ и $-i$ поменяются местами.
Пусть $\gamma$ — замкнутый путь в пространстве приведённых многочленов степени $n$, не задевающий $\Delta$, с началом и концом в $f_0$. Проследим корни $f_0$ вдоль $\gamma$: каждый корень непрерывно движется и в конце пути попадает в один из корней $f_0$, причём разные корни не сталкиваются, так как путь не задевает $\Delta$. Получившаяся перестановка корней $f_0$ называется монодромией пути $\gamma$.
(а) если путь непрерывно деформировать, не сдвигая его концов и не задевая $\Delta$, перестановка не изменится; (б) обратный путь даёт обратную перестановку; (в) если пройти два пути подряд, перестановки перемножатся.
Свойство (а) верно потому, что перестановка — дискретная величина, а концы путей корней при деформации меняются непрерывно и не могут перескочить с одного корня на другой. Для (б) достаточно пройти путь назад: корни вернутся на свои места.
Для $x^n+\lambda$ картина та же, что для $x^2+\lambda$: корни — вершины правильного $n$-угольника, и при обходе $\lambda$ вокруг нуля каждый корень поворачивается на $1/n$ оборота, то есть корни переставляются по циклу.
Перестановками корней первым занялся Лагранж. В «Размышлениях об алгебраическом решении уравнений» (1770–1771) он объяснил через них, почему существуют формулы для степеней 3 и 4, и увидел, что для степени 5 его способ не работает.
Пятая степень: все перестановки
Посмотрим на семейство уравнений $$x^5-x+a=0,\qquad a\in\mathbb C.$$ Разберём его по шагам.
Где сливаются корни. Кратный корень — общий корень многочлена и его производной (утверждение 3), поэтому $$\begin{cases}x^5-x+a=0,\\ 5x^4-1=0.\end{cases}$$ Из второго уравнения $x^4=\frac15$, то есть $x$ — одно из четырёх чисел $$x_k=5^{-1/4}\,i^k,\qquad k=0,1,2,3.$$ Из первого уравнения находим $a$: $$a=x-x^5=x\,(1-x^4)=\tfrac45\,x.$$ Значит, точек дискриминанта на прямой $a$ четыре: $$a=\pm a_*,\ \pm ia_*,\qquad a_*=\tfrac45\cdot5^{-1/4}\approx0{,}535.$$
Сколько корней сливается. В точке $a=\frac45x_k$ кратный корень один — это $x_k$: остальные числа $x_j$ дают другие значения $a$. Он двойной, а не тройной: вторая производная $20x^3$ в точке $x_k$ не равна нулю. Остальные три корня простые.
Корни в базовой точке. При $a=0$ уравнение $x^5-x=x(x^4-1)=0$ даёт корни $0$, $\pm1$, $\pm i$.
Какие корни сливаются. Две из четырёх точек вещественные, и их видно на графике $a=x-x^5$. Когда $a$ растёт от нуля до $a_*$, корни $0$ и $1$ сближаются и при $a=a_*$ сливаются в вершине графика. Функция $x-x^5$ нечётна, поэтому при $a=-a_*$ сливаются $0$ и $-1$. При $x=iy$ имеем $x-x^5=i(y-y^5)$: на мнимой оси параметра то же самое происходит с корнями $0$ и $\pm i$.
Пусть петля идёт из $a=0$ по отрезку почти до одной из точек дискриминанта, обходит её по маленькой окружности и возвращается по тому же отрезку. Монодромия такой петли меняет местами корень $0$ и корень $1$, $-1$, $i$ или $-i$ (для точек $a_*$, $-a_*$, $ia_*$, $-ia_*$ соответственно), а остальные три корня оставляет на месте.
доказательство — возле точки слияния всё как у $x^2+\lambda$
Три простых корня по теореме 14 всё время остаются в своих маленьких кругах и возвращаются на место. Возле двойного корня $x_k$ имеем $a-a_k=(x-x_k)^2u(x)$, где $u(x_k)\ne0$, поэтому рядом с $x_k$ число $u(x)$ почти не меняется и вокруг нуля не оборачивается. Когда $a$ обходит $a_k$, аргумент числа $a-a_k$ растёт на $2\pi$; значит, аргумент $(x-x_k)^2$ тоже растёт на $2\pi$, а аргумент $x-x_k$ — на $\pi$. Корень делает пол-оборота вокруг $x_k$ и приходит на место второго корня, как в примере $x^2+\lambda$.
Все перестановки. Обмены (транспозиции) корня $0$ с каждым из остальных корней порождают все перестановки. Обмен любых двух корней $u$ и $v$ получается так: $$(u\,v)=(0\,u)(0\,v)(0\,u),$$ а любая перестановка — произведение обменов. По свойству (в) произведению перестановок соответствует проход петель подряд. Значит, обходами точек дискриминанта получаются все $5!=120$ перестановок корней.
Почему нет формулы
Перестановки, которые дают замкнутые пути с началом в одной точке, образуют группу — группу монодромии: произведение и обратная перестановка снова получаются из путей (свойства (б) и (в)). Чтобы сказать, чем группа монодромии уравнения, решаемого в радикалах, отличается от группы всех перестановок, нужны два понятия.
Коммутатор перестановок $\sigma$ и $\tau$ — это перестановка $[\sigma,\tau]=\sigma\tau\sigma^{-1}\tau^{-1}$. Для группы перестановок $G$ её коммутант $G'$ — множество всех произведений коммутаторов элементов $G$; это снова группа. Группа $G$ называется разрешимой, если цепочка $G\supseteq G'\supseteq G''\supseteq\dots$ через несколько шагов доходит до группы из одной тождественной перестановки.
✳✳ Подробнее — в статьях «Коммутант» и «Разрешимая группа» и в первой главе книги В. Б. Алексеева.
Например, группа циклических сдвигов $n$ корней $x^n+\lambda$ разрешима: циклические сдвиги перестановочны, поэтому все коммутаторы тождественны и уже $G'$ состоит из одной тождественной перестановки.
Если корни уравнения $x^5-x+a=0$ выражаются через $a$ с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корней натуральной степени, то группа монодромии этого уравнения разрешима.
Эту теорему мы принимаем без доказательства: на лекции его не было. Идея Арнольда такая. Пройдём первую петлю, вторую, затем первую и вторую в обратную сторону — это коммутатор петель. Радикалы первого этажа формулы при обходе петли поворачиваются на долю оборота, как корни $x^n+\lambda$, а повороты перестановочны, поэтому после коммутатора петель они возвращаются на место. Радикалы второго этажа возвращаются после коммутатора коммутаторов, и так далее: если в формуле $k$ этажей, то $k$-кратные коммутаторы петель не двигают корни. Подробно это доказано у Алексеева (гл. 2, §§ 11–14) и у Фукса — Табачникова (лекция 5).
Группа всех $120$ перестановок пяти элементов неразрешима.
доказательство — каждый цикл длины 3 есть коммутатор двух циклов длины 3
Коммутатор циклов $(1\,2\,4)$ и $(1\,3\,5)$ — снова цикл длины 3, а переименовывая элементы, любой цикл длины 3 можно получить как коммутатор двух циклов длины 3. Значит, если группа содержит все циклы длины 3, то и её коммутант их содержит. Группа всех перестановок их содержит, поэтому их содержит каждый член цепочки $G\supseteq G'\supseteq G''\supseteq\dots$, и до тождественной группы цепочка не доходит.
По утверждению 18 группа монодромии уравнения $x^5-x+a=0$ — все 120 перестановок, а по утверждению 21 она неразрешима. Значит, по теореме 20 формулы в радикалах для корней уравнения $x^5-x+a=0$ через $a$ нет. Тем более нет формулы для общего уравнения пятой степени через его коэффициенты: пути на прямой $a$ лежат и в пространстве всех приведённых многочленов пятой степени, поэтому монодромия общего уравнения тоже даёт все 120 перестановок.✳
✳ Формула в радикалах многозначна, и среди её значений могут быть лишние. Доказательство от этого не ломается: ветвь формулы, совпавшая с корнем, остаётся корнем при любом продолжении, поэтому группа перестановок корней — образ группы перестановок значений формулы, а образ разрешимой группы разрешим.
Итак, нет формулы, пригодной сразу при всех $a$. Отдельные уравнения семейства решаются в радикалах, например, $x^5-x-30=(x-2)(x^4+2x^3+4x^2+8x+15)$. А чтобы доказать, что в радикалах не решается конкретное уравнение с числовыми коэффициентами, например $x^5-x-1=0$, нужна уже теория Галуа.
У самой теоремы непростая история. В 1799 году Паоло Руффини опубликовал доказательство в двухтомном трактате; в доказательстве был пробел, и современники отнеслись к работе холодно, хотя в 1821 году Коши написал Руффини, что тот доказал теорему полностью. В 1824 году Нильс Хенрик Абель издал доказательство за свой счёт и ради экономии уложил его в шесть страниц; одну брошюру он отправил Гауссу. Подробный вариант вышел в 1826 году в первом томе журнала Крелле. Абель умер от туберкулёза в апреле 1829 года в 26 лет; через два дня после его смерти пришло письмо с приглашением в Берлинский университет. Эварист Галуа, погибший на дуэли в 1832 году в двадцать лет, нашёл, когда уравнение решается в радикалах; Пуассон счёл его мемуар недостаточно ясным, и работы Галуа опубликовал Лиувилль только в 1846 году.
Топологическое доказательство, по следам которого мы шли, придумал В. И. Арнольд. В 1963–1964 годах он рассказал его школьникам только что открытой физико-математической школы-интерната при МГУ. В 1976 году один из слушателей, В. Б. Алексеев, издал по этим лекциям книгу «Теорема Абеля в задачах и решениях».
Ответ и что читать дальше
Формулы в радикалах для уравнения пятой степени нет. Препятствие — не сложность выкладок, а геометрия: в комплексном мире дискриминант можно обойти, число корней всегда одно и то же, но при обходе точки дискриминанта корни меняются местами. Обходы дают все 120 перестановок, а формула в радикалах дала бы разрешимую группу.
В этих записках изложена лекция, и заканчиваются они там же, где она. Доказательство теоремы 20 подробно разобрано у В. Б. Алексеева («Теорема Абеля в задачах и решениях», гл. 2, §§ 11–14) и у Д. Б. Фукса и С. Л. Табачникова («Математический дивертисмент», лекция 5; там то же семейство $x^5-x+a$). Вещественную геометрию дискриминантов, включая ласточкин хвост, подробно описывает брошюра В. А. Васильева «Геометрия дискриминанта». Идея работает и за пределами радикалов. А. Г. Хованский построил топологическую теорию Галуа: тем же способом доказывается, что многие функции не выражаются ни в радикалах, ни даже в квадратурах. В 2020 году А. Я. Канель-Белов с соавторами доказали этим методом, что уравнение $\tan x-x=a$ не решается в элементарных функциях.✳
✳ В топологии множество пар «многочлен вне дискриминанта, его корень» называется накрытием над дополнением к дискриминанту, а группа перестановок корней при обходах — группой монодромии этого накрытия. Подробности — в книге Алексеева и в книге Хованского «Топологическая теория Галуа».