• Закончил Матфак ВШЭ
• Работаю в 179 школе
• Преподаю математику
  школьникам, студентам и
  взрослым, организую
  математические события
• Веду телеграм-канал
  Кроссворд Тьюринга
  @turings_crossword
• Телеграм @d1_d57

Жорж-Луи Бюффон (1707–1788) — французский биолог,
математик и автор огромной Естественной истории

Автор одной из самых известных задач
геометрической вероятности — об игле Бюффона

Будем бросать иглу на плоскость, разлинованную
параллельными прямыми.
Расстояние между линиями равно длине иглы.
Вопрос: с какой вероятностью игла пересечёт линию?

Сегодня мы ответим на этот вопрос.
Неожиданно, ответ оказывается связан с числом $\boldsymbol{\pi}$
Дисклеймер: рассуждения в лекции будут достаточно неформальными

После каждого броска найдём долю игл, пересекших линию.
Во всех сериях она стабилизируется около одного и того же $\boldsymbol{p}$.
Наша задача — узнать, чему равно $\boldsymbol{p}$?

Начнём с другой задачи Бюффона. Будем бросать монетку диаметра $\boldsymbol{\tfrac12}$.
С какой вероятностью она пересечёт линию?
Важно только положение центра: монетка пересекает линию, когда её центр
находится от неё на расстоянии меньше $\boldsymbol{\tfrac14}$

Будем описывать положение монетки расстоянием от её
центра до верхней линии полосы, в которую он попал

Это число принимает случайные значения от $\boldsymbol{0}$ до $\boldsymbol{1}$
Монетка пересечёт линию, если число попадает в две
крайние четверти. Они занимают половину отрезка

Значит, вероятность равна $\boldsymbol{\tfrac12}$

Чему равна вероятность, если диаметр $\boldsymbol{d}$?

Тогда вероятность равна $\boldsymbol{d}$

Разрежем иглу на три равные части. Сложим из
них треугольник и будем бросать на плоскость
Сколько (примерно) будет точек пересечения
треугольников и линий?

Покрасим стороны треугольников в зелёный,
жёлтый и оранжевый

Сначала мы найдём количество пересечений
линий со сторонами жёлтого цвета
Пересечений с зелёными и оранжевыми будет
столько же, а всех вместе в три раза больше

Разрежем иглу на три равные части. Сложим из
них треугольник и будем бросать на плоскость
Сколько (примерно) будет пересечений?Сколько (примерно) будет пересечений?

За $\boldsymbol{N}$ бросков
• каждая сторона пересечёт линию ≈$\boldsymbol{\tfrac{p}{3}\cdot N}$ раз
• всего будет ≈$\boldsymbol{p\cdot N}$ пересечений

Правильный треугольник со стороной $\boldsymbol{\tfrac13}$
(как и игла длины $\boldsymbol{1}$) даёт ≈$\boldsymbol{p\cdot N}$ пересечений
С какой вероятностью он пересекает линию?

Треугольник либо не пересекает линию, либо пересекает её дважды.
После $\boldsymbol{N}$ бросков ≈ $\boldsymbol{\tfrac{p}{2}\cdot N}$ треугольников пересекает линию.
Вероятность пересечения равна $\boldsymbol{\tfrac{p}{2}}$

А если вместо треугольника бросать квадратА если вместо треугольника бросать квадрат
периметра $\boldsymbol{1}$? пятиугольник? восьмиугольник?периметра $\boldsymbol{1}$? пятиугольник? восьмиугольник?
С какой вероятностью они пересекут линию?

Погнём иглу длины $\boldsymbol{1}$ на $\boldsymbol{8}$$\boldsymbol{k}$ равных частей и сложим из
них правильный многоугольник. Бросим его $\boldsymbol{N}$ раз:
• каждая сторона пересечёт линию ≈$\boldsymbol{\tfrac{p}{8}\cdot N}$$\boldsymbol{\tfrac{p}{k}\cdot N}$ раз,
• всего произойдёт ≈$\boldsymbol{p\cdot N}$ пересечений,
• многоугольник пересекает линию $\boldsymbol{0}$ или $\boldsymbol{2}$ раза,
• ≈$\boldsymbol{\tfrac{p}{2}\cdot N}$ многоугольников пересекает линии.

Значит, вероятность пересечения равна $\boldsymbol{\tfrac{p}{2}}$

Что произойдёт, если мы будем увеличивать
число углов «до бесконечности»?

Получится окружность длины $\boldsymbol{1}$
Она пересекает линию с вероятностью $\boldsymbol{\tfrac{p}{2}}$

В начале лекции мы видели, что та же
вероятность равна $\boldsymbol{d=\tfrac1\pi}$. Следовательно

$\boldsymbol{\tfrac{p}{2}=\tfrac1\pi\Rightarrow p=\tfrac2\pi}$

Мы получили, что $\boldsymbol{p=\tfrac{2}{\pi}}$ $\boldsymbol{\approx 0.637}$

На самом деле по дороге мы доказали больше:
Если бросать на плоскость контур длины $\boldsymbol{L}$,
среднее число пересечений равно $\boldsymbol{\tfrac{2L}{\pi}}$
Для выпуклого контура диаметра меньше $\boldsymbol{1}$ вероятность пересечения с линией равна $\boldsymbol{\tfrac{L}{\pi}}$

Мы получили ответ в задаче Бюффона очень
красивым, но довольно неожиданным путём.
Посмотрим на тот же вопрос другим способом —
напрямую, через описание нашего эксперимента

Будем бросать монетку радиуса $\boldsymbol{\tfrac14}$ на плоскость,
разбитую на квадраты. С какой вероятностью она
пересечёт линии сетки? накроет центр?

Чтобы найти вероятность, надо понять, куда должен
попасть центр монетки внутри этого квадрата.
Вероятность равна площади этой области

В первом случае центр должен попасть в рамку
ширины $\boldsymbol{\tfrac14}$ около границы, во втором в круг радиуса $\boldsymbol{\tfrac14}$
Вероятность пересечь линии $\boldsymbol{\tfrac34}$, накрыть центр $\boldsymbol{\tfrac{\pi}{16}}$

Будем описывать положение иглы двумя числами.
Выберем нижний конец иглы. Пусть
• $\boldsymbol{y}$ — расстояние от конца до верхнего края полосы
• $\boldsymbol{\alpha}$ — угол между иглой и вертикалью
Тогда все положения иглы — это точки прямоугольника$\boldsymbol{0\leq y\leq 1,\ -\tfrac\pi2\leq\alpha\leq\tfrac\pi2}$

При каких $\boldsymbol{y}$ и $\boldsymbol{\alpha}$ игла пересекает линию?
Игла пересекает верхнюю границу тогда и только тогда, когда ей
хватает вертикальной проекции, чтобы до неё дотянуться.

Расстояние до верхней границы $\boldsymbol{y}$
Длина иглы равна $\boldsymbol{1}$, а её вертикальная проекция равна $\boldsymbol{\cos\alpha}$
Значит, пересечение происходит тогда и только тогда, когда $y\,\boldsymbol{\leq\cos\alpha}$

Исходы эксперимента — это прямоугольник площади $\boldsymbol{\pi}$
Благоприятные исходы — точки под $\boldsymbol{y=\cos\alpha}$. Поэтому

$\boldsymbol{p=\tfrac{S}{\pi}\Rightarrow\tfrac2\pi=\tfrac{S}{\pi}\Rightarrow S=2}$

Можно ли найти $\boldsymbol{S}$ другим способом?

Точка $\boldsymbol{P}$ с единичной скоростью проходит четверть
единичной окружности. Параметр $\boldsymbol{\alpha}$ — это время.

Когда $\boldsymbol{P}$ находится в положении $\boldsymbol{\alpha}$, скорость её
проекции $\boldsymbol{x}$ равна $\boldsymbol{\cos\alpha}$. Значит, сверху изображён
график скорости $\boldsymbol{x}$.

Площадь под графиком равна пути $\boldsymbol{x}$, то есть $\boldsymbol{1}$

Про задачу Бюффона есть несколько хороших источников —
от популярных текстов до более обстоятельных книг

• Генерация на Геогебре geogebra.org/m/ga7ec2kh
• В. И. Арнольд. Математическое понимание природы
• М. Айгнер, Г. Циглер. Доказательства из Книги. Лучшие
  доказательства со времён Евклида до наших дней
• Н. Б. Васильев. Геометрические вероятности // Квант
• А. Х. Шень. Вероятность: примеры и задачи