Иоганн Кеплер (1571–1630) — немецкий астроном. Двадцать лет он подгонял орбиту Марса под окружность, но всё упирался в зазор 8′, четверть видимого размера Луны. Кеплер не списал его на ошибку: он предположил, что Марс движется по эллипсу, у которого Солнце в одном из фокусов

Эллипс знали ещё древние греки, но две тысячи лет он оставался игрушкой ума — фигурой без применений. Кеплер неожиданно нашёл ему первое применение, и сразу в устройстве мира.

Рассечём конус плоскостью. Пологий разрез даёт замкнутый овал — это эллипс; чем круче плоскость, тем сильнее вытянута кривая, пока она не разомкнётся в параболу, а потом в гиперболу. Имена дал Аполлоний Пергский

Что такое эллипс? Зацепим нитку за две точки, натянем её карандашом и обведём контур. Раз нитка не растягивается, сумма расстояний от карандаша до двух точек постоянна. Эти две точки называют фокусами

Почему обе конструкции дают одну и ту же кривую?

Кто такой Данделен. Жермен Данделен (1794–1847) — бельгиец с пёстрой судьбой: успел повоевать в армии Наполеона, послужить военным инженером, побыть профессором механики и поиграть на скрипке

Те самые две сферы он придумал в 1822 году. Греки знали про конические сечения две тысячи лет — а короткое и наглядное доказательство, что срез это эллипс, нашлось только теперь

Та же конструкция задаёт ещё одну прямую — директрису. Для любой точки эллипса отношение расстояний до фокуса и до директрисы постоянно

Отвлечёмся на другую задачу. Дом и сарай стоят по одну сторону реки. Из дома надо зайти к реке за водой и занести её в сарай: где коснуться воды, чтобы весь путь был кратчайшим?

Отразим сарай на другой берег. Кратчайший путь к зеркальному сараю — прямая; она пересекает реку там, где углы с берегом равны

Сначала про зеркало. Луч бежит из точки в точку, отражаясь от прямой, — и выбирает кратчайший путь. А он, мы только что видели, получается, когда углы с зеркалом равны. Будь угол падения не равен углу отражения, дорогу можно было бы срезать — и свет пошёл бы не так

Теперь эллипс. Проведём касательную в точке T. Все её точки, кроме самой T, лежат вне эллипса — а там сумма расстояний до фокусов больше. Значит, через T путь между фокусами самый короткий, и углы с касательной равны. Поэтому луч из одного фокуса после отражения приходит точно в другой — и так из любой точки

Камни в почке

Раньше до камня добирались скальпелем — операция и долгая поправка. Сегодня его дробят снаружи, без единого разреза: работает геометрия эллипса

Подсказала авиация. На фирме сверхзвуковых самолётов заметили странное: обшивку выбивает изнутри, всегда в одних местах. Виной — ударные волны от капель и пыли; изогнутый металл собирал их в точку и крошил, как вогнутое зеркало собирает свет в фокусе

Это свойство — собирать волну в точке — и развернули в медицину. Источник ставят в один фокус эллипсоида-отражателя, камень — в другой; волна отражается от стенок и сходится точно на камне, дробя его и не задевая тканей

Парабола собирает свет

У параболы тоже есть фокус. Лучи, параллельные оси, после отражения сходятся ровно в нём — а источник, поставленный в фокус, наоборот даёт параллельный пучок. Так устроены фары и прожекторы, спутниковые тарелки и солнечные печи