• Нас интересуют конструкции в математике.
• Конструкция задаётся функтором: комбинаторный вид — функтор $\mathbf{FinSet}^{\mathrm{bij}}\to\mathbf{FinSet}^{\mathrm{bij}}$.
• Функторы сравнивают между собой.
• Две конструкции могут давать одно и то же всегда и оставаться разными.
• Некоторые конструкции до функтора не продолжаются вовсе.
• Функтор переводит коммутативную диаграмму в коммутативную — этим и работаем.

Категория $\mathcal C$ состоит из:

• класса объектов $\mathrm{Ob}\,\mathcal C\text{;}$
• множеств морфизмов $\mathcal C(A,B)$ на каждую пару объектов$\text{;}$
• композиции $\circ\colon\mathcal C(B,C)\times\mathcal C(A,B)\to\mathcal C(A,C)$ и единицы $1_A\text{,}$ для которых

$h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f\qquad 1_B\circ f=f=f\circ 1_A$

На прошлой лекции мы работали в категории $\mathcal K=\mathbf{FinSet}^{\mathrm{bij}}\text{:}$

• $\mathrm{Ob}\,\mathcal K=\{A\mid A\ \text{конечное множество}\}\text{;}$
• $\mathcal K(A,B)=\{f\colon A\to B\mid f\ \text{биекция}\}\text{;}$

$|\mathcal K(A,B)|=n!$ при $|A|=|B|=n\text{,}$ иначе $|\mathcal K(A,B)|=0$

$F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ — два отображения: $\mathrm{Ob}\,\mathcal C\to\mathrm{Ob}\,\mathcal D$ и $\mathcal C(A,B)\to\mathcal D(FA,FB)\text{,}$ причём

$F(g\circ f)=Fg\circ Ff\text{,}\qquad F1_A=1_{FA}$

Комбинаторный вид — функтор $\mathcal K=\mathbf{FinSet}^{\mathrm{bij}}$ в себя:

• на объектах: $P_2X$ — пары элементов $X\text{,}$ и $|X|=4\Rightarrow|P_2X|=6$
• на морфизмах: $\mathcal K(X,Y)\to\mathcal K(P_2X,P_2Y)$

$P_2(\sigma)\colon\{a,b\}\mapsto\{\sigma(a),\sigma(b)\}$

Дальше — функторы в векторных пространствах, группах и топологии

Векторное пространство над $\mathbb R$ — множество $V$ с операциями $+\colon V\times V\to V$ и $\cdot\colon\mathbb R\times V\to V\text{,}$ для которых

$u+v=v+u\text{,}\quad (u+v)+w=u+(v+w)$

$v+0=v\text{,}\quad \forall v\ \exists\,(-v)\colon\ v+(-v)=0$

$\lambda(\mu v)=(\lambda\mu)v\text{,}\quad 1\cdot v=v$

$\lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v\text{,}\quad (\lambda+\mu)v=\lambda v+\mu v$

• наборы $(x_1,\dots,x_n)\colon$ $\mathbb R^n$ и $\mathbb C^n$ — $(x_i)+(y_i)=(x_i+y_i)\text{,}$ $\lambda(x_i)=(\lambda x_i)$
• параллельные переносы пространства
• функции на одном множестве: многочлены степени $\le n$ и $\mathbb R^X=\{f\colon X\to\mathbb R\}$ при конечном $X$ — $(f+g)(x)=f(x)+g(x)\text{,}$ $(\lambda f)(x)=\lambda\,f(x)$

Для векторных пространств есть конструкции, аналогичные комбинаторным видам

Одна из них сопоставляет пространству $V$ его двойственное пространство $V^*$

Оказывается, $V\cong V^*\text{,}$ но канонического изоморфизма нет; для $V^{**}$ — есть

Покажем, как язык функторов позволяет формализовать и доказать эти утверждения

$f\colon V\to W$ линейно, если $f(\lambda v)=\lambda f(v)$ и $f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)$

Линейное $f$ — изоморфизм, если есть линейное $g=f^{-1}$ с $g\circ f=1_V$ и $f\circ g=1_W$ — понятие осмысленно в любой категории

• $\mathbb C$ и $\mathbb R^2\colon$ $x+iy\mapsto(x,y)$
• многочлены степени $\le n$ и $\mathbb R^{n+1}\colon$ $a_0+a_1x+\dots+a_nx^n\mapsto(a_0,a_1,\dots,a_n)$
• $\mathbb R^X$ при $|X|=n$ и $\mathbb R^n\colon$ $f\mapsto(f(x_1),\dots,f(x_n))$

$\mathrm{Ob}\,\mathbf{Vect}^{\mathrm{iso}}=\{V\ \text{векторное пространство}\}$

$\mathbf{Vect}^{\mathrm{iso}}(V,W)=\{f\colon V\to W\mid f\ \text{изоморфизм}\}$

$FA=\mathbb R^A$ продолжается до функтора $F\colon\mathbf{FinSet}^{\mathrm{bij}}\to\mathbf{Vect}^{\mathrm{iso}}\text{:}$

$(F\sigma)(f)(b)=f\big(\sigma^{-1}(b)\big)\text{,}\quad\text{то есть}\quad (F\sigma)(f)=f\circ\sigma^{-1}$

$\big(F(\tau\circ\sigma)\big)(f)=f\circ\sigma^{-1}\circ\tau^{-1}=(F\tau)\big((F\sigma)(f)\big)$

$(F1_A)(f)=f\ \Longrightarrow\ F1_A=1_{\mathbb R^A}$

Базис $V$ — набор $e_1,\dots,e_n\text{,}$ по которому каждый $v\in V$ раскладывается однозначно: $v=x_1e_1+\dots+x_ne_n\text{.}$ Задать базис то же, что задать изоморфизм $V\to\mathbb R^n$

• $\mathbb R^n\colon$ $e_i=(0,\dots,1,\dots,0)$
• многочлены степени $\le n\colon$ $1,x,\dots,x^n$
• $\mathbb R^X\colon$ $\delta_i(x_i)=1\text{,}$ $\delta_i(x_j)=0$ при $j\ne i$

Все базисы $V$ равной длины — это размерность $\dim V$

$V\cong W\iff\dim V=\dim W$

Выберем базисы в $V$ и $W\text{.}$ Тогда линейное $A\colon V\to W$ записывается матрицей $(a_{ij})\text{:}$

$Ae_j=\sum_i a_{ij}e_i$

Построим функтор $\mathbf{Vect}^{\mathrm{iso}}\to\mathbf{Mat}\text{,}$ где $\mathbf{Mat}\colon$ объекты — числа, $\mathbf{Mat}(n,m)$ — матрицы размера $m\times n$

$F\colon\mathbf{Vect}^{\mathrm{iso}}\to\mathbf{Mat}\text{,}\qquad FV=\dim V\text{,}\qquad FA=(a_{ij})$

$F(A\circ B)=FA\cdot FB\text{,}\qquad F1_V=E$

Другой выбор базисов даёт другой функтор; связывают их матрицы перехода

$GA=M_W\cdot FA\cdot M_V^{-1}$

$V^*=\{\varphi\colon V\to\mathbb R\ \text{линейное}\}=\mathbf{Vect}_{\mathbb R}(V,\mathbb R)$

• на $\mathbb R^3\colon$ $(x_1,x_2,x_3)\mapsto 3x_1-x_2$
• на многочленах: $p\mapsto p(0)$ и $p\mapsto\int_0^1p$

$(-)^*\colon\mathbf{Vect}^{\mathrm{iso}}\to\mathbf{Vect}^{\mathrm{iso}}\text{,}$ $V\mapsto V^*$

Изоморфизм $f\colon V\to W$ и функционал $\psi\in V^*$ дают

$f^*\colon V^*\to W^*\text{,}\qquad f^*(\psi)=\psi\circ f^{-1}$

Базис $e_1,\dots,e_n$ в $V\text{,}$ коэффициенты разложения — $x_i(v)\text{:}$

$v=x_1(v)\,e_1+\dots+x_n(v)\,e_n$

Каждое $x_i\colon V\to\mathbb R$ линейно, следовательно $x_1,\dots,x_n\in V^*$

Многочлены степени $\le n\colon$ базис $1,x,\dots,x^n$ и $x_k(p)=a_k=p^{(k)}(0)/k!$

Покажем, что $x_1,\dots,x_n$ — базис $V^*$

Возьмём $f\in V^*$ и подставим разложение $v\text{:}$

$f(v)=\sum_i x_i(v)\,f(e_i)\ \Longrightarrow\ f=\sum_i f(e_i)\,x_i$

Значит $x_1,\dots,x_n$ — базис $V^*\text{,}$ то есть $\dim V^*=\dim V$ и $V\cong V^*$

$V\cong V^*$ всегда — но строили мы этот изоморфизм по выбранному базису

Бывает ли изоморфизм $\alpha_V\colon V\to V^*$, не зависящий от выбора координат? При $V\ne0$ — нет

Замена $f=\lambda\cdot\mathrm{id}$ сжимает координатные функции в $\lambda^{-1}$

$\alpha_V(v)=\alpha_V(\lambda^2v)=\lambda^2\,\alpha_V(v)\ \Longrightarrow\ \alpha_V=0$

Применим конструкцию дважды и спарим вектор с функционалом:

$V^{**}=\mathbf{Vect}_{\mathbb R}(V^*,\mathbb R)\text{,}\qquad\langle v,\varphi\rangle=\varphi(v)$

Зафиксируем первый аргумент:

$\eta_V\colon V\to V^{**}\text{,}\qquad\eta_V(v)=\bigl(\varphi\mapsto\varphi(v)\bigr)$

При конечномерном $V$ это изоморфизм

Пусть $\eta_V(v)=0$ при $v\ne0\text{,}$ то есть $\varphi(v)=0$ для всех $\varphi$

Возьмём базис с $e_1=v$ и его координатную функцию: $x_1(v)=1$ — противоречие

$\dim V^{**}=\dim V^*=\dim V$

Квадрат $\eta_W\circ f=f^{**}\circ\eta_V$ на $\psi\in W^*\text{:}$

$\bigl(\eta_W(fv)\bigr)(\psi)=\psi(fv)$

$\bigl(f^{**}\eta_V(v)\bigr)(\psi)=\bigl(\eta_V(v)\bigr)(\psi\circ f)=\psi(fv)$

Для $V\to V^*$ нужен базис; $\eta_V(v)=(\varphi\mapsto\varphi(v))$ — одна на все. Такой изоморфизм естественный, а правило — естественное преобразование

$\mathrm{Id}\cong(-)^{**}\text{,}\qquad\mathrm{Id}\not\cong(-)^*$

Конструкция в линейной алгебре — функтор $\mathbf{Vect}^{\mathrm{iso}}\to\mathbf{Vect}^{\mathrm{iso}}\text{;}$ изоморфизм видов на первой лекции определялся так же

Теорема Брауэра о неподвижной точке — известное утверждение топологии, доказательство было чисто аналитическим

Эйленберг и Маклейн переписали его алгебраически — с этого началась теория категорий

Посмотрим на их аргумент в разных категориях

Заодно разберём, что некоторых функторов не существует

В $\mathbf{Set}(X,Y)$ все отображения, а не биекции, как в $\mathbf{FinSet}^{\mathrm{bij}}(X,Y)$

$X\mapsto\mathrm{Inj}_k(X)$ — раскраски в $k$ разных цветов — не продолжается до функтора $\mathbf{Set}\to\mathbf{Set}$

$|A|=k\text{,}$ $|B|=k+1\text{,}$ $A\subset B\text{;}$ вложение $s$ и проекция $r$ с $r\circ s=\mathrm{id}_A$

$|\mathrm{Inj}_k(A)|=k!\text{,}$ а $\mathrm{Inj}_k(B)$ пусто

Предположим, что функтор $F$ существует. Тогда

$F(r)\circ F(s)=F(\mathrm{id}_A)=\mathrm{id}_{FA}$

Противоречие

$G\mapsto Z(G)$ до функтора $\mathbf{Grp}\to\mathbf{Grp}$ не продолжается

Есть половина на объектах, нет $\mathbf{Grp}(G,H)\to\mathbf{Grp}(ZG,ZH)$

$Z(\mathbb Z_2)=\mathbb Z_2\text{,}$ а $Z(S_3)=\{e\}$

$s\colon\mathbb Z_2\to S_3\text{,}$ $1\mapsto(1\,2)\text{,}$ и $\mathrm{sgn}\colon S_3\to\mathbb Z_2\colon$ $\mathrm{sgn}\circ s=\mathrm{id}$

Предположим, что функтор $Z$ существует. Тогда

$Z(\mathrm{sgn})\circ Z(s)=\mathrm{id}_{\mathbb Z_2}\colon\quad\mathbb Z_2\to\{e\}\to\mathbb Z_2$

Противоречие

$s\colon A\to B$ и $r\colon B\to A$ с $r\circ s=\mathrm{id}_A\colon$ $r$ — ретракция, $s$ — сечение, $A$ — ретракт $B$

Когда у вложения $A\hookrightarrow B$ найдётся $r$?

• $\mathbf{Set}$ и $\mathbf{Vect}\colon$ всегда
• $\mathbf{Grp}\colon$ ровно когда $B=N\rtimes A$
• $\mathbf{Top}\colon$ общего ответа нет — нужен инструмент

$A$ ретракт $B$ $\Rightarrow$ $FA$ ретракт $FB\colon$ $Fr\circ Fs=F(r\circ s)=\mathrm{id}_{FA}$

На топологическом пространстве $X$ петли с началом и концом в точке $x$ образуют группу $\pi_1(X,x)$

Это функтор $\pi_1\colon\mathbf{Top}\to\mathbf{Grp}\colon$ пространство даёт группу, непрерывное отображение — гомоморфизм

• на диске петля стягивается в точку: $\pi_1(D^2)=\{e\}$
• на окружности петлю различает число оборотов: $\pi_1(S^1)=\mathbb Z$

Ретракции $D^2\to S^1$ не существует: иначе тождественной была бы композиция

$\mathbb Z\to\{e\}\to\mathbb Z$

Всякое непрерывное отображение диска в себя имеет неподвижную точку

Нет неподвижной точки — значит для каждого $x$ есть направление «от $f(x)$ к $x$», и луч доходит до края

Точка края уходит в себя: получился ретракт $S^1$ в $D^2$ — а его не бывает

• конструкции сравнивают вместе с действием на $\mathcal C(A,B)$
• совпадать на объектах и быть разными — бывает: $\mathrm{Id}\not\cong(-)^*\text{,}$ хотя $V\cong V^*\text{;}$ а $\mathrm{Id}\cong(-)^{**}$
• конструкции бывают запрещены — и запрет доказывается одним приёмом