Есть два треугольника, один целиком внутри другого. Нужно построить третий: его вершины лежат на сторонах внешнего, а на его сторонах лежат вершины внутреннего

Таких треугольников два, и есть простой итерационный способ их строить

Задача скорее всего связана с математическими бильярдами и, возможно, с теоремой Понселе. Её интересно обобщить на многоугольники и на тетраэдры

На входе достаточно школьной планиметрии

Достижимость замощений с помощью флипов. Существует классическая задача подсчета количества замощений доминошками фигуры на клетчатой плоскости. Зададимся иным вопросом: какие замощения можно получать друг из друга данным набором операций над доминошками? Цель проекта — постараться ответить на этот и смежные с ним вопросы, пусть даже и в частных случаях.

Начнем с простейшего из таковых. Определим флип как операцию, которая заменяет две смежные по длинной стороне горизонтально уложенные доминошки на вертикально уложенные и наоборот. Известно, что если фигура односвязная (то есть не имеет дырок), то любые замощения можно получить друг из друга последовательным применением флипов. В случае неодносвязной фигуры ответ может быть нетривиальным, и для его описания могут потребоваться топологические инварианты. Желающим участвовать в проекте, впрочем, можно не знать ничего из математики университетского уровня — ожидается, что все необходимые инструменты возникнут естественным образом по ходу исследования. Эта задача допускает много обобщений, рассмотрение которых может привести к написанию публикабельной научной статьи.

Задача Фробениуса для евклидовых колец. В качестве упражнения на индукцию школьникам часто дают задачу доказать, что любую сумму, начиная с 8 рублей, можно получить с помощью набора из некоторого количества монет номиналом в 3 рубля и 5 рублей. Естественным образом возникают обобщения данного вопроса, известные как задача Фробениуса. Известно, что если натуральные числа m и n взаимно просты, то любое натуральное число, не меньшее mn - m - n, выразимо в качестве линейной комбинации m и n с целыми неотрицательными коэффициентами. Можно изучать задачу Фробениуса для трех и более натуральных чисел; нас же интересует обобщение на числа вида, например, a + b√d, где d - фиксированное свободное от квадратов целое число, возможно, отрицательное. Желающим участвовать достаточно владеть алгеброй на школьном уровне.

Алгоритмы и геометрические построения. Нетрудно видеть, что построения циркулем и линейкой являются алгоритмами. Наивное их определение с помощью набора базовых операций, однако, сопряжено с некоторыми трудностями, впрочем, разрешимыми. Цель этого проекта - рассмотреть классические геометрические построения как вычислительную модель и рассмотреть возможные реализации алгоритмов в ней. Знакомство с программированием необязательно (и, возможно, может даже навредить).

Выпуклый n-угольник разрезают на k выпуклых кусков так, чтобы число сторон у всех кусков было разным. При каких n и k это получается?

Полного ответа нет до сих пор. Известно, что для каждого k есть порог: начиная с некоторого числа сторон разрезать можно, до него нельзя. Верхнюю и нижнюю границы порога умеют считать рекуррентно, явной формулы нет. При k до 17 границы совпадают, и этого хватает, чтобы закрыть все n до 100. Совпадают ли они дальше — открытый вопрос

Цель проекта — вывести явную формулу вместо рекуррентного счёта и выяснить, совпадают ли границы при всех k

На входе не нужно ничего, кроме школьной геометрии и умения довести индукцию до конца

Статья: А. Заславский. О разрезании выпуклых многоугольников // «Квант», 2012, № 5/6, с. 53–55

Корни квадратного уравнения выражаются через коэффициенты формулой с дискриминантом. Для третьей и четвёртой степени формулы тоже есть, для пятой их не существует: это теорема Абеля — Руффини

У неё есть красивое топологическое доказательство. Коэффициенты — это параметры; корни непрерывно зависят от них, и если параметры провести по замкнутой петле, корни переставятся между собой. Разрешимость в радикалах оказывается свойством возникающей группы перестановок

Первая часть проекта — разобрать это доказательство, а по дороге освоить комплексные числа, перестановки и монодромию. Вторая — те же вопросы для уравнений, которые алгебраическими не являются: вместо радикалов там элементарные и специальные функции, и что через что выражается, исследовано гораздо хуже

На входе достаточно школьной алгебры и готовности много читать

Литература: лекция 5 в «Математическом дивертисменте» Фукса и Табачникова, книга Алексеева «Теорема Абеля в задачах и решениях»

Запись представления

В соцсетях периодически всплывает «детская задача» о яблоках-бананах-ананасах. Выписано несложное на вид уравнение и требуется определить, есть ли у него решения в натуральных числах. Однако для решения требуются идеи, выходящие за рамки школьной математики. Нужно использовать сложение точек на эллиптических кривых. Ещё один пример, где работают те же идеи, — известная задача Сергея Маркелова о треугольниках Шарыгина. Есть и множество других задач по алгебре и геометрии со школьными формулировками, которые удобно решать с помощью эллиптических кривых. Но, как часто бывает в теории чисел, решены далеко не все из этих элементарных на вид задач. А ещё можно двигаться в обратном направлении: использовать конкретную эллиптическую кривую для того, чтобы придумать и решить свою собственную интересную задачу по теории чисел.

Химическое соединение, чтобы работать с ним на компьютере, записывают строкой — словом из конечного алфавита. Способов записи несколько, и они не равносильны: одно и то же соединение получает разные слова. Как переводить одну запись в другую, что при этом теряется и какая запись лучше предсказывает свойства соединения по большим базам данных — вопросы, в которых математики больше, чем химии. Строго говоря, структура соединения — гиперграф, и кодировать надо именно его

Запись представления

Пусть мы отправляем сообщение из определённого количества битов с риском ошибочного приёма части из них. Оказывается, возможно добавить к этим «информационным» битам несколько вычисленных по определённому алгоритму «контрольных» битов так, чтобы некоторое количество ошибок можно было исправить.

Тривиальным и заведомо избыточным примером является повторяющийся код - мы повторяем каждый бит, скажем, три раза и в дальнейшем «голосованием» решаем, какой бит был отправлен. Это заведомо позволит исправить одну ошибку.

Более интересным примером является код Хемминга с 2ʳ - r - 1 информационными битами и r контрольными битами. Он также исправляет одну ошибку - указанием на положение ошибочного бита в двоичной записи

Более сложные коды используют конечные поля, графы и даже алгебраическую геометрию

Про такие коды есть ряд задач, в том числе экспериментально-программистских, как комбинаторных (о возможности исправления определённого числа ошибок), так и вероятностных (о шансе исправить случайно возникающие ошибки)

Граф планарен тогда и только тогда, когда в нём нет двух определённых графов — это теорема Понтрягина — Куратовского, и доказательство у неё непростое

Есть куда более общее утверждение. Если свойство графов сохраняется при удалении ребра и при стягивании ребра, то найдётся конечный список графов, для которого свойство равносильно одному: ни один граф списка не является минором данного. Это теорема Робертсона — Сеймура, её доказывали двадцатью статьями с 1983 по 2004 год

У оснащённых четырёхвалентных графов такой список оказывается коротким, а теорема о них — простой. Из неё выводится и теорема Понтрягина — Куратовского, и другие утверждения теории графов

Проект — разобраться в этом сюжете и заняться вопросами вокруг него

На входе достаточно знать, что такое граф

Выжить на поверхности. Можно ли перенести плоский объект на сферу или другую искривлённую поверхность, сохранив расстояния между его точками? Как жителю такого мира определить его кривизну, не выходя во внешнее пространство? Может ли он без рисков для своей жизни перемещаться между областями различной кривизны? В рамках проекта участники исследуют геодезические, треугольники, окружности и площади на искривлённых поверхностях. Они выяснят, как кривизна меняет привычные правила геометрии, почему лист бумаги можно без растяжения свернуть в цилиндр, но нельзя наложить на сферу, и почему невозможно построить совершенно точную плоскую карту Земли. Проект предполагает знакомство с доступными школьникам идеями неевклидовой, дифференциальной и сравнительной геометрии.

Форма барабана. Можно ли определить форму барабана, зная только частоты его звучания? В проекте участники исследуют, как форма мембраны связана с её собственными частотами и картинами колебаний. На этом пути они познакомятся с волновым уравнением, собственными значениями и собственными функциями оператора Лапласа, а также с основными идеями спектральной геометрии. Участники выяснят, какую геометрическую информацию можно извлечь из звука и могут ли барабаны разной формы звучать совершенно одинаково.

Запись представления

Построение многоугольников Понселе. Для каких n можно построить вписанно-описанные n-угольники, отличные от правильных, при помощи циркуля и линейки?

Велосипедисты в пространстве. Как обобщить классическую задачу Шарыгина о велосипедистах для трёхмерного пространства?

Триангуляция двумерной поверхности — разбиение её вложенным графом на треугольники. Аналогично, трёхмерные объекты можно разбивать на тетраэдры, но в больших размерностях представить себе это довольно трудно. Тем не менее, для триангуляции удобно задавать (линейное) отображение, просто указав образ каждой вершины. Так топология — область математики, изучающая непрерывные преобразования и их инварианты — оказывается связанной с комбинаторикой и теорией многогранников, а сложные топологические конструкции описываются в терминах раскрасок графов. Мы начнём с азов топологической комбинаторики и быстро сможем дойти до (пока) открытых проблем.

Запись представления

Символическая динамика — раздел теории динамических систем, в котором для описания динамики используются средства дискретной математики: состояния системы кодируются буквами некоторого конечного алфавита, а орбиты задаются словами, составленными из этих букв. В рамках проекта мы обсудим, как устроены такие языки для разных динамических систем, как по комбинаторным свойствам увидеть некоторые аналитические свойства, и какие функции могут быть функциями сложности для разных языков.

То, что приводится ниже — широкие темы для исследовательской деятельности, в которых можно выделить множество задач, в зависимости от индивидуального вкуса и подготовки школьника. Конкретную задачу лучше всего выбирать интерактивно, в процессе сотрудничества между учеником и руководителем, и в процессе освоения темы.

Равносоставленность многоугольников и многогранников. Если один многоугольник можно разрезать на многоугольные куски и составить из этих кусков другой многоугольник, то эти два многоугольника, как говорят, равносоставленны. В эту общую схему вписывается много конкретных вариантов равносоставленности, в зависимости от того, какие ограничения накладывать на геометрию кусков, и какие ограничения — на те движения, которыми разрешается перемещать куски при составлении нового многоугольника. Основной вопрос в том, как проверить равносоставленность (какие числа надо посчитать и сравнить, чтобы убедиться в равносоставленности или неравносоставленности двух данных многоугольников). Если ограничений на куски нет, и двигать их можно как угодно, то достаточно сравнить площади: любой многоугольник равносоставлен любому другому многоугольнику той же площади. Однако при наличии ограничений ответ может меняться. С этим связано множество задач, некоторые из которых открыты.

Геометрия и арифметика множества Мандельброта. Множество Мандельброта M возникает из рассмотрения очень простой процедуры: каждое комплексное число z заменяется на z² + c, для данного комплексного значения c. Точки множества M можно охарактеризовать как те значения параметра c, при которых описанная процедура, начинающаяся с z = 0, никогда не приводит к сколь угодно большим значениям. Найдите в интернете интерактивные иллюстрации множества Мандельброта, воспользуйтесь ими, чтобы рассмотреть это множество в разных масштабах. Вы увидите множество интересных закономерностей. Например, на границе множества M много кривых, очень похожих на окружности. Это не настоящие окружности (за одним исключением), а овалы алгебраических кривых высоких степеней. Интересно понять, на какие именно настоящие окружности они похожи, и почему. А ещё есть естественное взаимно однозначное отображение дополнения до M на дополнение до замкнутого единичного диска; это отображение раскладывается в ряд по степеням 1/c около бесконечности. Интересны арифметические свойства коэффициентов этого ряда.

Периодические цепные дроби и законы композиции. Если корень из целого числа (не полного квадрата) умножить на рациональное число, то полученное произведение разложится в периодическую (начиная с некоторого места) цепную дробь, то есть p/q · √n = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + …)), причём все числа aₖ целые положительные, и они с некоторого момента повторяются периодически. Самое интересное в данном разложении — его период, с точностью до циклической перестановки. Что произойдёт с периодами цепных дробей, если числа из левой части перемножить?

Самоподобные аттракторы в динамических системах. Самоподобие — это когда часть подобна целому. Примеры самоподобных фигур — прямая, плоскость, канторово множество, ковёр и треугольник Серпинского, снежинка Коха. Эти множества наиболее естественным образом возникают как аттракторы динамических систем, то есть как множества, к которым приближаются все или почти все орбиты. Если менять динамическую систему, то меняется и аттрактор. Как эти изменения описать на языке самоподобия? Например, как меняется фрактальная размерность аттрактора?

«Число Бога» головоломки — наименьшее число ходов, которого хватает, чтобы собрать её из любой позиции. В 2010 году это число нашли для классического кубика Рубика: оно равно двадцати. Для мегаминкса (додекаэдра вместо куба) и для кубика 4×4 точное значение до сих пор неизвестно, известны только оценки.

Проект CayleyPy ищет короткие решения для таких головоломок методами машинного обучения: модель учится находить последовательность ходов, которая разбирает случайную позицию, и на практике такие последовательности получаются короче, чем найденные вручную.

Задача проекта — разобраться в методе и попробовать продвинуть его дальше: обучить свою модель на одной из головоломок и попытаться улучшить лучшую известную оценку.

Для входа достаточно знать Python или быть готовым его освоить

Спираль подсолнуха. Для расположения семян многих цветков (например, подсолнуха) имеется интересная математическая модель: полярные координаты семечки номер n равны (√n, n·b), где b — некоторый угол. При помощи этой модели мы будем изучать вопросы про взаимное расположение семечек. Например, где именно в цветке семечки сильнее всего прилегают друг к другу. В этом вопросе ключевую роль играет разложение числа b/2π в цепную дробь, поэтому изучать вопрос мы начнём с них.

Бильярд с гравитацией. Расположим в плоскости две прямые y=ax, y=−ax. Внутри угла, образованного этими прямыми, запустим шарик, на который действует гравитация. Столкновения со стенками считаем абсолютно упругими. Наша задача — описать периодические траектории этого шарика. Для этого понадобится мощная алгебраическая техника (базисы Грёбнера) и компьютерные вычисления.

Многоугольники. Рассмотрим конечное подмножество А в Z (например, {0,2,3,6}). Мы хотим изучать следующий вопрос: является ли оно ортогональной проекцией множества целых точек, содержащихся в некотором выпуклом многоугольнике? Если да, то как описать все такие многоугольники?