Монетами по 3 и 5 рублей можно набрать любую сумму начиная с 8 рублей. Задача Фробениуса — найти наибольшую сумму, которую набрать нельзя, для любых номиналов. В проекте её обобщают на числа вида a + b√d
Если многоугольник разрезать на куски и сложить из них другой, многоугольники называют равносоставленными. Когда двигать куски можно как угодно, достаточно сравнить площади: любые два многоугольника одной площади равносоставлены (теорема Бойяи — Гервина). В проекте правила строже. Выбираются n направлений под углами 2πk/n, резать разрешено только вдоль них, а куски можно лишь сдвигать, без поворотов. Многоугольники берутся со сторонами вдоль этих направлений, и при разрезании такими и остаются. Какие числа нужно посчитать и сравнить, чтобы понять, можно ли так перекроить один многоугольник в другой, — вопрос проекта
Корни уравнения пятой степени не выражаются через коэффициенты в радикалах — это теорема Абеля — Руффини. У неё есть топологическое доказательство Арнольда: если вести коэффициенты по петле, корни переставляются и получаются все 120 перестановок, а формула в радикалах допускала бы только часть из них. Тот же приём работает для уравнений вроде tg x − x = a: в 2020 году Канель-Белов с соавторами доказал, что его корни не выражаются через экспоненту и логарифм. Даниэль расскажет это доказательство и задачи, которые здесь открыты
Эллипс рисуют верёвкой, привязанной к двум гвоздям. Что получится, если закрепить верёвку в двух вершинах многоугольника, который ей мешает?
Можно ли определить форму барабана, зная только частоты его звучания? Участники изучат, как форма мембраны связана с её собственными частотами, и выяснят, могут ли барабаны разной формы звучать одинаково
Граф планарен, если в нём нет двух определённых графов, — теорема Понтрягина — Куратовского, и доказывается она непросто. Для оснащённых четырёхвалентных графов список запрещённых миноров короткий, а теорема о них простая, и из неё выводится теорема Понтрягина — Куратовского